تبديل مبناها

براي تبديل عدد n از مبناي 2 به مبناي 10 از رابطه زير استفاده مي كنيم:

* نكته :

ا- ها را ارقام يا digit هاي عدد مي گويند و بين صفر و r اند.

يعني

2- اگر ارقام يك عدد دو رقمي شود آنها را با حروف نشان مي دهيم.

/ مثال 1  

 / مثال 2  

تبديل از مبناي 10 به r :

براي اينكار عدد مورد نظر را به طور متوالي به r تقسيم مي كنيم اينكار را تا زماني انجام مي دهيم كه مقسوم از مقسوم عليه كوچكتر شود. آخرين خارج قسمت و باقيمانده ها به ترتيب برعكس جواب مسئله اند.

2

18

2

9

2

4

2

2

2

1

1

0

1

0

0

مثلاً براي امتحان درستي جواب مثال 2 :

37

 

به ترتيب برعكس جواب 100101 مي باشد.

مثال:

2

18

از راه تقسيم متوالي عدد بر 16 بدست مي آيد .

270

- براي تبديل از مبناي r به b بطوريكه ( ) از مبناي 10 بعنوان مبناي مياني استفاده مي كنيم (يعني مثلاً براي تبديل

اول  را به مبناي 10 مي بريم كه مي شه  بعد اين عدد را با تقسيم متوالي بر 8 به مبناي هشت مي بريم كه مي شود .

 

مبناهاي خاص :

مبناهاي 2 و 8 و 16 را مي توان به روش ساده تر به هم تبديل كرد.

- براي تبديل 2 به 8 : از سمت راست سه رقم سه رقم جدا مي كنيم . هر دسته را جداگانه به عدد مبناي 8 معادل با آن تبديل مي كنيم.

BINARY

HEX

OCT

OEC

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

- براي تبديل 2 به 16 : عين قبل فقط دسته بندي را چهار تايي انجام مي دهيم.

- تبديل 8 به 2 : هر عدد را به طور جداگانه به سه بيتي معادل آن تبديل مي كنيم.

- تبديل 16 به 2 : هر عدد را به طور جداگانه به چهار بيتي معادل آن تبديل مي كنيم.

- تبديل 8 به 16 : براي اينكار از مبناي 2 بعنوان مبناي مياني استفاده مي كنيم.

اول عدد را مي بريم مبناي 2 و بعد به مبناي هشت

تبديل مبناها در اعداد اعشاري :

براي تبديل مبناي r به 10 در اعداد اعشاري بصورت زير عمل مي كنيم :

 

: مثال 

 

 

- تبديل 10 به r در اعشاري : قسمت صحيح آنرا مثل سابق تبديل مي كنيم ولي قسمت اعشاري را به r ضرب مي كنيم. قسمت صحيح حاصلضرب را برداشته و قسمت اعشاري را مجداً ضرب مي كنيم تا هنگاميكه قسمت اعشاري تمام شود و يا به تعداد ارقام دلخواه برسيم.

  : مثال

توجه : اگر ذكر شد تا چند رقم اعشار تا چهار رقم كافيست.

نكته :

در مورد اعداد اعشار : دسته بندي قسمت اعضار از چپ به راست انجام مي شود (دسته بندي اعداد با توجه به توضيحات قبلي صورت مي گيرد)

 : (مثال)

: (مثال)

 

محاسبات در مبنا :

محاسبات در هر مبنا مي بايست با توجه به مبناي عدد انجام شود يعني اعمال نقلي و انتقال با توجه به مبناي عدد انجام مي شود.

مثال براي عمل جمع :

(منظور از 1 يك بسته 8 تايي است)

(با توجه به مبنا داريم 7+5 = 12 ولي 8-12 مي كنيم

مي شه 4 بعد يك بسته 8 تايي مي ره بالا

مثال براي عمل تفريق :

1 به هر كدام يك بسته 8 تايي اضافه مي شود.

: مثال  

 

 

مثال براي عمل ضرب :

 

مكمل ها و متمم ها (Complements) :

براي هر عدد مانند n در مبناي r دو مكمل r و r-1 را تعريف مي كنند. براي بدست آوردن مكمل هاي يك عدد روشهاي مختلفي وجود دارد كه :

- روش اول :

 

rمكمل   

 مكمل

: مثال

: مثال

8

8

8

1

0

0

64

دو عدد با مبناهاي متفاوت را نمي توانيم از هم كم كنيم در نتيجه ابتداي عدد  را به مبناي 8 مي بريم و بعد از هم كم مي كنيم.      

 

                                         = عدد حاصله 

-  روش دوم :

r : مكمل

: مكمل

 

  مثال

كاربرد مكمل ها :

از نمايش اعداد منفي در سيستم اعداد باينري :

بطوريكه سه روش براي نمايش اعداد منفي در سيستم اعداد باينري وجود دارد كه در ادامه به بررسي آنها مي پردازيم.

- روش اول (بيت – علامت):

بيت – علامت : سمت چپ ترين بيت عدد را علامت عدد فرض مي كنيم، در صورتيكه صفر باشد مثبت و در صورتيكه يك باشد منفي است و مابقي عدد را ارزش آن در نظر مي گيريم.                

ارزش

علامت

13+ =  1101

0

13- = 1101

1

در اين روش با استفاده از n بيت مي توان اعداد بين  را ايجاد كرد.

/ مثال

0

0

0

0

00

01

10

11

1

1

1

1

00

01

10

11

علامت

ارزش

 


                     

اشكالات اين روش :

1- براي نمايش صفر دو حالت وجود دارد.

2- براي اعمال جمع و تفريق مي بايست مدارهاي جداگانه اي طراحي شود يعني با استفاده از مدار جمع كننده يا عمل جمع نمي توان تفريق نيز انجام داد.

روش دوم (روش مكمل) :

در اين روش سمت چپ ترين بيت عدد را به عنوان علامت عدد فرض مي كنيم.

اگر صفر بود مثبت و اگر يك بود منفي است حال اينكه منفي چه عدديست.

علامت

ارزش

0

1

13+ = 1101

6- =1101

مكمل يك عدد را مي گيريم و ارزشيابي مي كنيم. ارزش بدست آمده با علامت منفي جواب مسئله است.

مثال :

(اول مكمل يك مي گيريم  00010 = (بعد با علامت منفي جواب مسئله است).

- در اين روش مهم با استفاده از n بيت مي توان اعداد بين  را ايجاد كرد.

 

اشكالات اين روش :

1- در اين روش نيز براي نمايش صفر دو حالت وجود دارد.

علامت

ارزش

0

1

 

 

روش سوم (مكمل 2)‌:

مثل روش قبل است فقط بجاي گرفتن مكمل يك بايد مكمل دو بگيريم.

علامت

ارزش

0

1

مثال

 مكمل 2

در اين روش با استفاده از n بيت مي توان اعداد بين را ايجاد كرد.

در اين روش منفي ها هميشه يكي بيشترند چون به ازاي  داريم :

 

اين روش هيچكدام از اشكالات دو روش قبلي را شامل نمي شود و همه آنها را رفع مي كند.

كاربرد دوم مكمل ها :

انجام عمل تفريق با استفاده از مكمل:

از تفريق با استفاده از مكمل r :

در اين روش بجاي تفريق  را با مكمل  جمع مي كنيم، در صورت وجود رقم نقلي آنرا دور مي اندازيم و در صورت عدم رقم نقلي مكمل r حاصل با علامت منفي جواب مسئله است.

r =10

+

+

r =10

مكمل r

مكمل r

1

رقم نقلي

 

 

 

 

 

 

 


رقم نقلي ندارد پس مكمل r آنرا حساب مي كنيم در نتيجه 185 - جواب مسئله است.

2- براي تفريق  را با مكمل  جمع مي كنيم در صورت وجود رقم نقلي آنرا دور نمي اندازيم. بلكه با حاصل آنرا جمع مي كنيم در صورت عدم وجود رقم نقلي مكمل  حاصل با علامت منفي جواب مسئله است.

r =8

+

+

r =8

1

رقم نقلي

r =8     =163     

+

رقم نقلي

r =8

مثال)

 

 

 

رقم نقلي ندارد پس مكمل  آنرا در نظر مي گيريم مي شه = 163-

مثال /66- را در سيستم اعداد باينري به هر سه روش نشان دهيد.

66- = 110110 : بيت- علامت

101001 :مكمل 1

66- = 101010  : مكمل2

22= 010110 : مكمل 2

66+

010110

 

 

 

 

 


تمرين :

 

 

 

       

بيت علامت

بدون علامت

-32

مكمل 2

مكمل 1

10110100