X
تبلیغات
Computer Software Engineering - مدار الکتریکی :

جلسه اول

مدار الکتریکی : یک حلقه از عناصر الکتریکی را مدار الکتریکی گویند.
حلقه : حلقه یا باز است یا بسته ، ولی منظور از حلقه به هم پیوستن عناصر الکتریکی است (متصل شدن )
عناصر الکتریکی : اجزاءمدار الکتریکی را عناصر الکتریکی یا شاخه گویند و شامل عناصر زیر است ؛
- مقاومت
- منابع ولتاژ جریان
- خازن
- سلف
هر عنصر الکتریکی شاخه دارای دو سر است عنصر های بیشتر از دوسر الکتریکی نیستند بلکه الکترونیکی هستند گره : هر شاخه دو گره دارد ( هر سر را یک گره گویند حل مدار الکتریکی : بدست آوردن ولتاژها و جریان های هر شاخه از مدار


روش حل مدار : فقط با استفاده از دو قانون   KCL و KVL  انجام می شود که به قوانین کیرشهف مشهورند .
KCL قانون جریان کیرشهف
KVL قانون ولتاژ کیرشهف

قانون KCL:
در هر گره از مدار مجموع جریان های وارد شده برابر است با مجموع جریان های خارج شده از گره ،
i1= i2 = i3 = i4
همانطور که ملاحظه می کنيد ، شکل مقابل دارای 5 گره و 4 شاخه است .


توجه :
در مدار الکتریکی برای برقراری جریان نیاز هست که حلقه بسته باشد و اختلاف پتانسیل وجود داشته باشد. برای درک بهتر موضوع به مثال زیر توجه فرمایید : اگر حرکت آب در داخل شیلنگ را نیز نوعی جریان بدانیم تفاوت آن با جریان الکتریکی در این است که در آنجا نیازی به بسته بودن حلقه نیست ، حرکت جریان آب فقط به اختلاف پتانسیل نیاز دارد .
در شکل شماره 2 به علت بسته بودن حلقه جریان وجود خواهد داشت . همانطور که ملاحظه می فرمایید در شکل مقابل 8 شاخه و 5 گره وجود دارد ، جهت جریان را نیز می توانیم به دلخواه خود انتخاب کنیم .
به گره شماره 1 توجه کنید ، 3 شا خه دارد پس 3 جریان نیز خواهد داشت ، در گره شماره 2 یکی از جریان ها از قبل مشخص بوده و دو تای دیگر را خود انتخاب می کنیم و الی آخر .


و اما روش محاسبه به این صورت است :

KCL(1) : i5 + i1 = i6
KCL(2) : i6 + i2 + i7 =0
KCL(3) : i3 + i8 = i7
KCL(4) : i4 = i8 + i5
KCL(5) : i1 + i2 + i3 + i4 = 0


این سوال ممکن است مطرح شود که در گره 5 ( شکل 2) همه جریان ها خارج می شود و این چطور ممکن است ؟
برای ما درستی تساوی مهم است ، بنابراین چنانچه یکی از اعداد پارامتر را منفی در نظر بگیریم تساوی درست می شود .

یک مثال برای درک بهتر مفهوم جهت جریان :
داخل یک سیم را تصور کنید ، درآنجا تعداد زیادی الکترون در جهات مختلف در حال حرکت هستند ، وقتی یک مولد جریان الکتریکی را به سیم وصل می کنیم الکترونها را که تا چندی پیش مسیر حرکت مشخصی نداشتند را وادار می کند تا در مسیری مشخص حرکت کنند ، تقریبا مانند بازی دومینو که با ضربه زدن به اولین مهره ایستاده ، جریان حرکت در تمامی مهر ها انتشار پیدا می کند .
شکل شماره 3 را در نظر بگیرید ، به شاخه 1 و شاخه 2 نگاه کنید ، هر جریانی که از شاخه 1 عبور می کند بدون اینکه منشعب شود از شاخه 2 نیز عبور می کند و این دقیقا بیان مفهوم شاخه های سری است که در آن جریانهای موجود با هم برابر هستند .

 

KCL(1) : i1 = i2
KCL(2) : i2 + i3 = i4
KCL(3) : i4 + i6 = i5
KCL(4) : i5 = 0
KCL(5) : i6 = i7
KCL(6) : i1 + i3 + i7 = 0


نتیجه :
در KCL جریان شاخه های سری با هم موازی است .
//    //     //      //            //    مدار باز صفر است .
 

 

به شکل مقابل برای درک بهتر مدار سری و مدار باز توجه کنید :
همانطور که ملاحظه می فرمایید مدار مقابل دارای 6 گره و 8 شاخه است ، شاخه 3و 4 با هم سری هستند چون از شاخه 5 به علت مدار باز بودن جریانی عبور نمی کند و همین علت نیز برای شاخه شماره 6 باعث شده است تا شاخه های 7 و 1 نیز سری شوند .

 

 

KCL(1) : i1 = i3 +i2                            KCL(2) : i3 = i4

KCL(5) : i4 +i2 = i7                            KCL(7) : i7 = i1

 

 

 

 

 

 

جلسه سوم

رابطه تقسیم جریان :
در شکل زیر چنانچه مدل مبنای مابرای تعریف رابطه تقسیم جریان مدار 6/3 باشد،
برای پیدا کردن i1 , i2 از قانون اهم داریم:

© i1 = V ÷ R1 , i2 = V ÷ R2

 

حال همانطور که قبلا نیز گفته شد از موازی بودن دو مقاومت  R1 ,R2  استفاده کرده و به شکل 7/3 می رسیم که در آن داریم :

*   R = R1 R2 ÷ R1 + R2


و قانون اهم را نیز به یاد می آوریم که در آن داشتیم : V = R i  در اینجا به جای  R  معادلش  در رابطه * را می گذاریم ، 

V = (R1 R2 ÷ R1 + R2) i


اگر این رابطه را در فرمول بالای صفحه (©) بگذاریم رابطه تقسیم جریان اینچنین خواهد بود ، 

i1 =( R ÷ R1+R2 )I , i2 =( R ÷ R1+R2 ) I


حال می توانیم مثال قبل را نیز از راه تقسیم جریان حل کنیم ، (شکل 8/3 ) ،

i1 = 2 ÷ (2+4 ) I
KVL : -12 + 8/3 I + 8/6 I = 0
I = 12 ÷ (12/3) = 3
i1 = 2 ÷ (2+4 ) I
i = 1

 

یک مثال برای درک بهتر مفهوم سوپر گره ،
به شکل 9/3 به دقت نگاه کنید، در اینجا با استفاده از KCL  می خواهیم  i1  را بدست بیاوریم ،
 


باید این سوالات را از خود بپرسیم ،
مدار چند گره دارد ؟ 4 گره
برای 4 گره چند تا KCL می توانیم بنویسیم ؟ یکی کمتر از تعداد گره ها یعنی 3 تا
ولی باید 2 تا KCL  بنویسیم چون بین گره C و A  سوپر گره داریم ،
جهت ها را اختیاری در نظر می گیریم و نامگذاری می کنیم،
همیشه بلافاصله بعد از سوپر گره باید در حلقه اي شامل گره هايي که سوپر گره نوشته ايم و گره زمين KVL  بنويسيم .
 

 


 

 

عنصر سوم منبع جریان مستقل



عنصری است که جریانش ثابت است ، یعنی هر چه ولتاژ دو سرش تغییر کند جریا نش تغییر نمی کند
نکته :
دو سر منبع جریان به هیچ وجه نباید باز باشد چون می سوزد .
اگر منبع جریان سوخت مانند این است که مدار باز است .

جلسه چهارم

منبع ولتاژ وابسته                                               منبع جریان وابسته

i x = F( ik)   یا   F(vk) ------------------------------- V x = F( ik)   یا   F(vk)

 

منبع ولتاژ وابسته یک تابع است ،تابعی از ولتاژ شاخه K ام مدار                                      منبع جریان وابسته نیز یک تابع است ، تابعی از شاخه Kام مدار

              با واحد ولت                                                                                                                            با واحد آمپر




                                                             

 


مسئله 4 فصل سوم ،
در مدار شکل 1/ 4 میخواهیم VAB را از روی KCL حساب کنیم ،

این مدار چند گره دارد ؟
5 گره
به شکل نگاه کنید
گره B را به زمین وصل کرده و در 4 نقطه KCL می نویسیم ،
یادمان نرود که همیشه تعداد KCL ها از تعداد شاخه ها یکی کمتر است یعنی ( n-1 ).
نکته : در اینجا تنها با دو kcl مسئله حل می شود ، آیا می دانید چرا ؟
 

 

در گره C می خواهیم KCL بنویسیم ، به شکل 2/4 توجه کنید :
 

چند شاخه به گره C وصل است ؟
4 شاخه
شاخه سمت راست با مقاومت 2 اهمی جهتش معلوم است ،
دو منبع جریان وابسته هم جهت هایشان معلوم است ،
فقط می ماند جهت جریان شاخه 3 اهمی که آنرا هم به دلخواه در نظر می گیریم ،
حالا KCL می نویسیم ، جریان هایی که وارد حلقه می شوند برابر جریانهایی که از حلقه خارج می شوند .




 

در شکل مقابل جهت حرکت جریانها یی که وارد
گره می شوند و آنهایی که از گره خارج می شوند
را ملاحظه می کنید .
 

ما VAB را می خواهیم حساب کنیم پس باید i1
مقدارش معلوم باشد ،
به نوشتن KCL در گره C توجه کنید ،






 

شکل 1/ 4 را به خاطر بیاورید ،

می خواهیم یک KCL در گره D بنویسیم ، به گره D توجه کنید.

 

برای شاخه مقاومت یک اهمی جهت جریان را به دلخواه مشخص می کنیم ،
7 آمپر وارد می شود i2 + 2io خارج می شوند ،
io هم که قبلا صفر شد بنابراین i2=7 می شود .که از فرمول KCL
قابل نتیجه گیری است ،

نتیجه ای که می گیریم این است که همه 7 آمپر وارد شاخه مقاومت یک اهمی شده ، و این یعنی اینکه منبع جریان 2io
وجود ندارد ، چون جریانش صفر بود و جریان صفر در منبع جریان یعنی مدار باز





 

جلسه پنجم

 

مسئله 57 ،
به شکل شماره 1/5 توجه کنید :
مقاومت دیده شده در سرهای A ,B را بدست اورید .



در مدار شکل 1/5 چون هیچ منیع مستقلی نداریم ( جریان یا ولتاژ ) که به
مدار انرژی بدهد بنابراین نه ولتاژخواهیم داشت نه جریان پس نتیجه
مساوي صفر است ،Vth می گیریم که در چنین مواردی
وقتی اتصال کوتاه نیز می کنیم جریانش صفر می شود ، چون همانطور
که گفتیم مدار فاقد انرژی است ،
ولی در این مدار مقاومت داریم پس مطابق قانون اهم داریم :

                          



خوب Iscو Vth که هر دو صفر بودند پس Rth می شود صفر تقسیم بر صفر که برابر صفر نیست ، بنابراین ما نمی توانیم
از این راه Rth را بدست بیاوریم .







نکته :
برای حل مسائلی که در آن مدار فاقد منابع مستقل است ،
اگر مداری منابع مستقل نداشت تمام ولتاژهای مدار و تمام
جریان های مدار برابر صفر است ،
در اینگونه مدارها

                          

راه حل این است که خودمان یک منبع مستقل در مدار بگذاریم
تا بدین وسیله مدار دارای انرژی شود ، یا منبع جریان مستقل می گذاریم و یا منبع ولتاژ مستقل و اسمش VT را  می گذاریم ،
جریانی را هم که این منبع مستقل به مدار می دهد را IT  می گذاریم ،

پس شکل مدار اینگونه تغییر کرد ،
گره B  را به زمین وصل می کنیم و مسئله را حل می کنیم



سوپر حلقه :
وقتی شاخه مشترک بین دو حلقه ، منبع جریان باشد ( چه وابسته و چه مستقل ) نیازی به نوشتن
KCL درمدار نیست ،
 بلکه برای دو حلقه به طور مشترک KVL می نویسیم که این موضوع را سوپر حلقه گویند ،
در نوشتن سوپر حلقه باید دقت کنیم که جریان های دو حلقه با هم متفاوت هست .



برای دو حلقه  II و I  به طور مشترک  KVL  مي نويسيم ،










می توانیم شکل اصلی مدار را بدین صورت بهینه کنیم ،




مسئله 39 ،
می خواهیم  Vth را حساب كنيم ، 


همانطور که ملاحظه می کنید این مدار دارای 4 شاخه و 2 گره است ،
همه شاخه ها با هم موازیند ،
یعنی اگر دو سر B و A  مدار Vth  باشد ، همه شاخه ها
دو سرشان  Vth است ،

حال می خواهیم  Vth  را حساب کنیم ،مدار که دو تا گره بیشتر ندارد پس یکی را به زمین وصل کرده ( این کار قبلا انجام شده )
و برای دیگری KCL  می نویسیم ، بهتر است اول مدار را ساده کنیم ، به شکل توجه کنید :


حالا KCL  گره A  را مي نويسيم ،


سپس مدار را اتصال کوتاه می کنیم ،




ملاحظه می کنید که در این شکل جدید مدار یک گره بیشتر ندارد ،
تعداد گره ها قبلا هم گفتیم که تعداد KCL  همیشه یکی از تعداد گره ها
کمتر است یعنی در اینجا عملا هیچ KCL ي نباید بنویسیم ،
در اصل وقتی دو سر مدار اتصال کوتاه می شود ، شاخه اتصال کوتاه
با بقیه شاخه ها موازی می شود ، ولتاژ شاخه اتصال کوتاه صفر است
پس ولتاژ مقاومت نیز صفر می شود و جریانش هم صفر می شود
چرا که در قانون اهم وقتی ولتاژ صفر شود ،  R  هر عددی که
باشد i  صفر مي شود ، و جریان که صفر شد یعنی مدار باز ،

در ضمن هر گاه دو سر مقاومتی اتصال کوتاه شد ، آن مقاومت حذف می شود و دیگر در مدار وجود نخواهد داشت ، ولتاژ هم که صفر
شد و منیع جریان صفر یعنی مدار باز ، پس شاخه منبع جریان 2 ولت نیز خذف می شود ، به شکل توجه کنید :
 




به مثال 3/ 5 توجه کنید :



 حالا باید مدار را اتصال کوتاه کنیم ،
 




جلسه ششم

غیر فعال کردن منابع :

یعنی جایگزین کردن اتصال کوتاه به جای منبع ولتاژ و جایگزین کردن مدار باز به جای منبع جریان


مثال 114 :
پیدا کردن Rth و Vth در مدار مقابل :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


مسئله 115 :
ix , Vy , iz = ?
به شکل 2/7 توجه کنید :

 

ابتدا مسئله را ساده می کنیم ،

حال در حلقه وسط KVL می نویسیم ،
یادمان باشد ، در حلقه ای که در آن منبع جریان
وجود دارد KVL نمی نویسیم چون سوپر حلقه است ،

حالا در سوپر حلقه KVL می نویسیم :

 


مسئله 108 :
i A , i B = ?
به شکل 3/7 توجه کنید ،

 

 

 

مسئله 107 :
به شکل 4/7 توجه کنید :
وقتی بخواهیم Vth را بدست بیاوریم
چنانچه مدار فقط شامل مقاومت باشد ، برای حل
مدار دو راه داریم ؛
یا مقاومت ها را ساده می کنیم
یا منبع خارجی می گذاریم
در این مدار Vth در دوسر دلخواه صفر است
چون منبع نداریم Isc هم صفر است
ولی مقاومت تونن داریم
پس برای محاسبه این مقاومت باید یک منبع خارجی
قرار دهیم .

به منبع خارجی توجه کنید ،

حالا کافی است در حلقه ای شامل
سرA و سر B و منبع خارجی یک
KVL بنویسیم ،
جریان حلقه هم که IT است ،
مسئله گفته مقاومت ها با هم
مساویند پس جریان IT در
اول مسیر به سه مقاومت
می رسد که سهم هر کدام از
آنها 1/3 IT است و ...

 

 


نکته :
اگر مدار فقط شامل مقاومت باشد ، برای محاسبه Rth در دو سر دلخواه کافی است مقاومت معادل را در آن دو سر بدست آوریم ،
اگر نتوانستیم مقاومت ها را ساده کنیم و مقاومت معادل را بدست آوریم می توانیم از منبع مستقل خارجی استفاده کنیم ،
اگر مداری شامل منابع مستقل و مقاومت باشد ، برای محاسبه مقاومت تونن ( Rth ) در دو سر دلخواه می توان منابع را غیر فعال
کرد و مقاومت معادل را بدست آورد ، در اینصورت Rth برابر است با مقاومت معادل مدار ،
برای غیر فعال کردن منابع به ترتیب زیر عمل کمی کنیم ،
به جای منبع ولتاژ اتصال کوتاه و به جای منبع جریان مدار باز قرار می دهیم .
 

جلسه هفتم

مدارهای مرتبه اول

مقایسه مدارهای مرتبه اول با مدارهای ساده


مدارهای ساده مدارهایی هستند شامل تعدادی مقاومت ، منابع وابسته و مستقل ولتاژ و جریان ، اگر به این مدارهای ساده یک عنصر ذخیره کننده انرژی اضافه کنیم ( سلف یا خازن ) مدار مرتبه اول می شود ، روش حل مدارهای مرتبه اول و مدارهای ساده یکسان است یعنی استفاده از قوانین KCL و KVL و روابط تعریف شده قبلی مثل روابط تقسیم ولتاژ و تقسیم جریان و ...
تنها تفاوت مدارهای مرتبه اول با مدارهای ساده در این است که وقتی مدارهای مرتبه اول را حل می کنیم ، حاصل یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خواهد بود ولی در مدارهای ساده حاصل حل مدار n معادله و n مجهول می باشد .
 


خازن

مشخصه خازن از نظر الکتریکی دو خط موازی است و با C که نشان دهنده ظرفیت خازن است نشان می دهیم ، واحد خازن فاراد است که با F نشان می دهیم ،


مانند مقاومت در اینجا نیز به نوشتن روابط نیاز داریم ،
در شکل بالا که الگوی ما می باشد جریان به سر مثبت وارد می شود، جهت ها را متناظر اختیار می کنیم و روابط را بر اساس شکل فوق می نویسیم
 

 

 


تعریف خازن :

 


نحوه شارژ شدن خازن :

برای شارژ شدن خازن باید بارهای مثبت روی یکی از صفحات خازن و بارهای منفی روی صفحه دیگری قرار گیرد ،
اگر یک خازن را به یک منبع ولتاژ مستقل DC وصل کنیم خازن شارژ می شود یعنی بارهای مثبت و منفی از هم جدا می شوند ،
حال اگر خازن شارژ شده را در مدار ی قرار دهیم که بتواند باعث جابجایی بارهای مثبت و منفی در صفحات خازن شود ، خازن خود را
تخلیه می کند که به این حالت دشارژ شدن خازن گویند ،
رابطه بار الکتریکی و جریان و ولتاژ خازن به شکل زیر است ،
 

نکته :
خازن های سری و موازی قابل ساده شدن به یک خازن هستند ، به صورت رابطه زیر ؛
 

 

به شکل شماره 1/6 توجه کنید که چگونه در آن جریان iR را بدست می آوریم ،
 

 

 

 


روش حل مدارهای مرتبه اول :

در t<0 مدار به شکل مقابل است که در آن

                           

است ،

در t = 0 یعنی کلید K1 باز شده و کلید K2 بسته شده
بنابراین ؛
                           

در t>0 هم خازن را داریم و هم مقاومت را پس ،
 

                           

 

 

اول باید v(t) را بدست بیاوریم ،


یادآوری معادله دیفرانسیل مرتبه اول :

معادله دیفرانسیل مرتبه اول یعنی معادله ای که در آن
مشتق مرتبه اول یک تابع وجود داشته باشد و معادله
دیفرانسیل مرتبه n ام یعنی معادله ای که در آن
مشتق مرتبه n ام تابع وجود داشته باشد برای حل
معادله دیفرانسیل لازم است شرایط اولیه معلوم باشد ،
شرایط اولیه برای معادله دیفرانسیل مرتبه اول یعنی
معلوم بودن مقدار تابع در لحظه صفر که در این مثال


می باشد و شرایط اولیه برای معادله دیفرانسیل مرتبه n ام یعنی معلوم بودن مقدار تابع در لحظه صفر بعلاوه معلوم بودن مقدار
مشتقات تابع در لحظه صفر تا مشتق مرتبه n-1
 

 

و دنباله مسئله به صورت مقابل است ؛


به این مثال توجه کنید ،
می خواهیم در یک مدار مرتبه اول که معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه را به شکل زیر داده است  v(t) را بدست بیاوریم ؛

مثالی دیگر ،
در یک مدار مرتبه اول معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه بصورت زیر داده شده است پاسخ را بدست آورید .
 

 

 


مدارهای مرتبه اول سه دسته اند
دسته اول مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها همگن می شود ، این مدارها در t > 0 فاقد منابع مستقل هستند و یک
خازن شارژ شده خود را در مدار تخلیه می کنند ، در این حالت پاسخ بدست آمده را پاسخ ورودی صفر می نامیم .

دسته دوم مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها غیر همگن است و شرایط اولیه نیز صفر است ، وقتی معادله دیفرانسیل غیر
همگن است یعنی در t > 0 منبع مستقلی وجود دارد و جون شرایط اولیه صفر است یعنی در t < 0 خازن شارژ نشده است ،
پاسخ در این حالت را پاسخ صفر می نامیم .

دسته سوم مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها غیر همگن و شرایط اولیه نیز غیر صفر است ، این حالت را پاسخ کامل
می نامیم ،
در هر مدار الکتریکی داریم ،

پاسخ حالت صفر + پاسخ ورودی صفر = پاسخ کامل



تذکر :
اگر عنصر ذخیره کننده انرژی خازن باشد مدار را RC گوییم و اگر سلف باشد RL ،
بدست آوردن پاسخ ورودی صفر و یا پاسخ حالت صفر و یا پاسخ کامل در مدارهای RC و RL یکسان است و به روشی است
که در مثالهای فوق توضیح داده شد .


 

 


لحظه ثابت زمانی :

لحظه ای که در رابطه بدست آمده برای پاسخ مدار ، توان e منهای یک می شود ، لحظه ثابت زمانی نام دارد ، در این مدار آن
لحظه برابر است با Rc
تابت زمانی را با T یا t نشان می دهند ،
بی نهایت یعنی 4 برابر ثابت زمانی زیرا اگر داشته باشیم ؛

 

 

 

جلسه هشتم

یادآوری :


مدارهای مرتبه اول ،
مدارهایی هستند که شامل یک عنصر ذخیره کننده انرژی باشند ،
عناصر ذخیره کننده انرژی عبارتند از خازن و سلف ،
در مدار مرتبه اول با استفاده از روابط KCL و KVL و همچنین با استفاده از روابط بین ولتاژ و جریان خازن و روابط بین ولتاژ و جریان سلف و قانون اهم یک معادله دیفر انسیل مرتبه اول بدست می آوریم ، اگر شرایط اولیه معلوم باشد معادله دیفرانسیل حل خواهد شد ، بنابراین در مدارهای مرتبه اول می توان نوشت :
 

 

 

سلف ( سیم پیچ )


مثال :
به شکل 1/ 8 توجه کنید ،
می خواهیم جریان iL را حساب کنیم ،

 


U(t) چیست ؟
تابع u(t) را تایع پله گویند ، به عبارتی دیگر تابع پله عمل کلید را انجام می دهد بنابراین در مدار به جای استفاده از کلید می توان
از تابع پله استفاده کرد ،
بنا به این توضیح میتوان تصور کرد که شکل مدار
1 / 8 قبلا به چه صورتی بوده ( شکل مقابل ) ،
حال کلید را در این مدار حذف کرده و منبع ورودی را
در تابع u(t)ضرب می کنیم ،

به شکل جدید مدار توجه کنید ،

وقتی مدار با تابع پله داده می شود ،هنگام حل به جایu(t) مقدار
یک قرار داده و مدار را حل می کنیم ، در نهایت وقتی پاسخ بدست آمد
آنرا در u(t) ضرب می کنیم و در کنار پاسخ عبارت

را حذف می کنیم ،

در این حالت پاسخ را پاسخ پله گویند .





تعریف ریاضی تایع پله u(t) ،


مثال :
توابع زیر را رسم کنید :

الف ) v(t) = 6u(t-2)
در 2 مقدارش 6 است و از منهای بینهایت تا 2
مقدارش صفر است .

ب) v(t) = 3u(2t – 1 )
این تابع در 2/ 1 مقدارش 3 است و قبلش صفر ،
کلید لحظه ای عمل می کند که این آرگومان صفر
شود .



می خواهیم مثال فصل 4 مسئله 22 را حل کنیم ،
برای حل این مسئله به تعاریف زیر نیاز داریم :



صفر منفی و صفر مثبت :
در یک تابع اگر از مقادیر منهای بینهایت به سمت صفر حرکت کنیم
و مقدار تابع را در لحظه t = 0 بدست آوریم ، آن لحظه صفر منفی
نام دارد ،
اما اگر از لحظات بزرگتر از صفر به سمت صفر برویم ، لحظه صفر را
صفر مثبت گویند ، به عبارتی دیگر اگر در صفحه مختصات از سمت چپ
به مبدآ مختصات نزدیک شویم صفر منفی و اگر از سمت راست
نزدیک شویم صفر مثبت نام دارد .
تابعی که مقدار آن در

و در

با هم برابر باشد
تابع پیوسته است و تابع پیوسته تغییرات آنی ندارد ،




در سلف جریان یک تابع پیوسته است و جریان سلف تغییر آنی ندارد ، بنابراین خواهیم داشت ؛

یعنی برای سلف می توان نمودار زیر را رسم کرد ؛

زیرا ؛

اما ولتاژسلف تغییرات آنی دارد ، یعنی داریم :

با همین استدلال در مورد خازن داریم :

حال که با مفاهیم صفر مثبت و صفر منفی آشنا شدید به حل مسئله 22 فصل 4 می پردازیم ،
به شکل 2 / 8 توجه کنید ،
می خواهیم i(t) را بدست آوریم ،


می دانیم که این مدار مرتبه اول است چون می توانیم
در آن سلف ها راساده کرده و در نهایت مدار را با یک سلف
حل کنیم ،

اما سلف ها چگونه ساده می شوند ،
سلف های موازی مثل مقاومت های موازی هستند ،

و سلف های سری مثل مقاومت های سری .







نکته :
اگر در لحظه

منبع مستقل در مدار وجود داشته باشد عناصر ذخیره کننده انرژی شارژ شده اند ،
سلف شارژ شده معادل اتصال کوتاه است و خازن شارژ شده معادل مدار باز ،
اگر در لحظه

منبع مستقل در مدار نباشد ، عناصر ذخیره کننده انرژی دشارژ هستند ،
سلف دشارژ شده معادل مدار باز و خازن دشارژ شده معادل اتصال کوتاه است .


نکته :
همیشه در

مدار ، یک مدار مقاومتی ساده است ، یعنی در مدار سلف و خازن وجود ندارد

دنباله حل مسئله :



مدار بالا را مرتب می کنیم ،

جلسه نهم

پاسخ ضربه


یادآوری :
مثال 41 فصل 4 ؛
به شکل شماره 1 / 9 توجه کنید
می خواهیم v(t) و همچنین h(t) ( پاسخ ضربه ) را بدست بیاوریم ،




و اما مسئله پاسخ ضربه را هم می خواهد ،
تعریف تایع ضربه به صورت مقابل داده شده است :

اگر این تابع را رسم کنیم به صورت مقابل مشخص می شود

در مورد تابع ضربه می توان گفت مساحت
تابع برابر یک است یعنی خواهیم داشت ،

با توجه به تعریف انجام شده برای تابع ضربه می توان گفت ؛تابع ضربه عبارت است از مشتق تابع پله ، بنابراین خواهیم داشت ،


می توان اثبات کرد که پاسخ ضربه نیز برابر است با مشتق پاسخ پله ، بنابراین برای بدست آوردن پاسخ ضربه یک مدار کافی است پاسخ پله را محاسبه کرد و از آن مشتق گرفت ، در این مثال پاسخ ضربه برابر است با ؛


در این پاسخ جمله سمت راست در تابع ضربه ضرب شده است ، از آنجاکه تابع ضربه در همه زمانها بجز در لحظه t = o مقدار ندارد
بنابراین ضریب

در پاسخ ضربه را باید ساده کنیم ،
برای ساده کردن آن کافی است در ضریب

به جای t مقدار صفر قرار دهیم ،
در این مثال خواهیم داشت ،




پاسخ ضربه را با h(t) نشان می دهند و پاسخ پله را با s(t) .
 

 


مسئله 37 فصل 4 ،
در شکل 2 / 9 می خواهیم پاسخ پله و پاسخ ضربه ولتاژ دو سر خازن را بدست آوریم ؛

وقتی در مسئله ای گفته می شود پاسخ پله را بدست آورید یعنی ورودی را معادل u(t)قرار دهیم .

 

 

 

 

مدارهای مرتبه دوم



مدارهایی که شامل دو عنصر ذخیره کننده انرژی باشند را مدارهای مرتبه دوم می نامند زیرا که معادله آنها یک معادله دیفرانسیل
مرتبه دوم خواهد شد ،
در درس مدار یک مدارهایی را بررسی می کنیم که شامل یک سلف و یک خازن باشند ، این مدارها می توانند تعدادی مقاومت و
منابع وابسته و مستقل نیز داشته باشند ،
مدارهای مرتبه دوم را مدارهای RLC و همچنین مدارهای رزونانس می نامند .
مدارهای مرتبه دوم یا همگن هستند یا ناهمگن ،
اگر همگن باشد ورودی صفر داریم ، در این مدار منبع مستقل نداریم ،
اگر ناهمگن باشد دو حالت داریم ؛

یا شرایط اولیه صفر است که در این حالت پاسخ حالت صفر داریم
یا شرایط اولیه صفر نیست که در این حالت پاسخ حالت کامل داریم

بدست آوردن معادله دیفرانسیل مدارهای مرتبه دوم با استفاده از KCL و KVL و همچنین روابط بین ولتاژ و جریان خازن و
روابط بین ولتاژ و جریان سلف و قانون اهم امکان پذیر می باشد ،
اگر شرایط اولیه معلوم باشد معادله قابل حل است ،
برای معادله مدارهای مرتبه دوم مقدار تابع در صفر و مشتق درجه یک در صفر مورد نیاز است .
 

 

مثالی برای درک بهتر موضوع ،
در یک مدار مرتبه دوم ، معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه
بصورت زیر بدست آمده است ، مقدار تابع را بدست آورید .



مثال برای درک موضوع فوق میرایی – میرایی بحرانی و زیر میرایی :

در اینجا ترازوی عقربه ای را در فروشگاه میوه فروشی در نظر می گیریم ،
در هنگام وزن کردن 2 کیلو گرم سیب ، اگر عقربه ترازو به آرامی بالا رور تا به عدد 2 کیلو گرم برسد مثالی از حالت فوق میرایی است،
اگر عقربه ترازو به سرعت به عدد 2 رسید و ایستاد حالت میرایی بحرانی را نشان می دهد ،
اگر عقربه ترازو برای نشان دادن عدد 2 به دفعات روی اعداد دیگر برود و برگردد تا بالاخره روی عدد 2 بایستد حالت زیر میرایی را نشان
می دهد .
اگر عقربه ترازو روی هیچ عددی نایستد و دائما حول عدد 2 نوسان کند حالت بدون اتلاف را نشان می دهد.
 

ضرایب K1 و K2 و K و از روی شرایط اولیه محاسبه می شود ،

الفا با مقاومت رابطه دارد و با سلف و خازن ،


مثال ،
در یک مدار معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه بصورت مقابل داده شده است ، مقدار تابع را بدست آورید ،

 


برای محاسبه K1 و K2 ابتدا V0 را از روی تابع بدست می آوریم ، خواهیم داشت ،

 

 

 

 

جلسه یازدهم

فازورها ( دامنه و فاز ) :
اگر منابع مستقل مدار AC باشد در اینصورت محاسبه پاسخ خصوصی از روش حل مدار ، زمانیکه منابع DC است ( سمت راست
معادله یک عدد است ) بدست نمی آید و باید روشی برای بدست آوردن پاسخ خصوصی ارائه کرد ، اما پاسخ همگن مدار ، مانند
گذشته بدست می آید ، زیرا برای بدست آوردن پاسخ همگن ( عمومی ) طرف راست معادله دیفرانسیل را مساوی صفر قرار
می دهیم
طرف راست معادله نشان دهنده منابع مستقل مدار است ، وقتی آنرا صفر می کنیم ، یعنی منابع مستقل را غیر فعال کرده ایم ،
بنابراین فرقی نمی کند که این منابع مستقل DC باشد یا AC.

تفاوت پاسخ عمومی و پاسخ خصوصی از روی ترسیم پاسخ :
در یک مدار معادله دیفرانسیل بصورت زیر داده شده است ؛


در این مدار یکبار فرض می کنیم منابع مستقل DC است یعنی سمت راست معادلعه یک عدد است ، بنابراین پاسخ خصوصی
برابر است با :



و برای پاسخ عمومی از روی

و

پاسخ را بدست می اوریم ، بنابراین خواهیم داشت ؛


اگر فرض کنیم پاسخ زیر میرایی است بنابراین شکل پاسخ بصورت زیر بدست می آید ؛







اگر منابع مستقل مدار AC باشند ؛
به طور مثال اگر منابع سینوسی باشند ، شکل موج پاسخ گذرا و پاسخ خصوصی
به صورت مقابل می باشد ؛

در این مثال پاسخ عمومی مانند مثال قبل است ،                                                               پاسخ خصوصی بصورت سینوسی و به شکل زیر است

                                  



جمع دو پاسخ ، پاسخ کل مدار است که بصورت ؛


در بحث فازورها می خواهیم پاسخ حالت دائمی سینوسی یعنی پاسخ خصوصی را برای مدارهائیکه منابع مستقل آنها سینوسی است بدست آوریم ،






تابع سینوسی :
تابعی که بصورت زیر نوشته شود تابع سینوسی نام دارد ،




ثابت می شود اگر در یک مدار خطی تغییر ناپذیر با زمان ورودی یک تابع سینوسی با فرکانس

باشد ، خروجی نیز یک تابع
سینوسی است با فرکانس

، یعنی خروجی با ورودی همفرکانس است و فقط دامنه و فاز خروجی با ورودی متفاوت است ،
بنابراین اگر در یک مدار بصورت زیر ورودی

و خروجی

باشد خواهیم داشت ؛

منظور از خروجی همان پاسخ خصوصی یا پاسخ حالت دائمی است .






برای محاسبه دامنه و فاز خروجی کافی است مداررا به حوزه فازور منتقل کنیم ، حوزه فازور یعنی نگهداشتن دامنه و فاز ورودی درمدار
و حذف

از مدار ،

نحوه انتقال مدار از حوزه زمان به حوزه فازور :
عناصر مدار با استفاده از تبدیل جدول زیر از حوزه زمان به حوزه فازور تبدیل می شوند ،




به مدار شماره 1 / 11 توجه کنید ،
می خواهیم پاسخ حالت دائمی سینوسی را برای V1 و V2 بدست آوریم ؛

 





برای بدست آوردن V1 و V2 که موهومی هستند
فقط کافیست آنها را از مختصات دکارتی به مختصات قطبی
تبدیل کنیم ،



یادآوری تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی :
اگر یک عبارت موهومی به صورت Z= A+jB داشته باشیم و آنرا در صفحه مختلط رسم کنیم ، بصورت زیر خواهد شد ؛



دامنه و فاز Z نیز به صورت زیر بدست می آید ؛





نکته ،
اگر در مدار هم پاسخ عمومی را بخواهند و هم پاسخ خصوصی را ، برای حل و بدست آوردن پاسخ عمومی نیاز داریم معادله دیفرانسیل
مدار را بدست آوریم ، اگر معادله دیفرانسیل را داشته باشیم از روی آن می توان پاسخ خصوصی را محاسبه کرد و نیازی به استفاده از
روش فازوری نیست

جلسه دوازدهم

مسئله 25 :
i1 را در تمام زمانها بدست آورید ؛(شکل شماره 1/12 )
 

 


کلید A قبلا باز بوده و کلید B قبلا بسته بوده
وقتی کلید A بسته می شود مدار به دو قسمت
تبدیل می شود ،و مقاومت 2 اهمی از مدار
خارج می شود چون دو سرش اتصال کوتاه است
از لحظه صفر تا یک نیز ، سلف با هر مقدار شارژ
که داشته باقی می ماند ، از لحظه یک به بعد
که کلید B باز می شود ، سلف قدرتش را در مقاومت تخلیه می کند ،


شکل مدار در

بصورت زیر است :


شکل مدار در

نیز بصورت زیر است :

و در آخر شکل مدار در

بصورت زیر خواهد بود :


مسئله 62، شکل شماره 2 / 12 :


همانطور که در شکل دیدید مدار دارای دو منبع
مستقل است که سلف 10 H را شارژ کرده اند ،
وقتی کلید در t=0 بسته می شود مدار اتصال
کوتاه شده و از همین جا مدار به د وقسمت تبدیل
می شود ،
ما در اینجا می خواهیم جریان اتصال کوتاه را بدست
آوریم بنابراین قبل از جدا کردن مدار یک KCL
می نویسیم ،
برای این کار جهت جریان ها را به دلخواه انتخاب می کنیم







مسئله 58، شکل شماره 3 / 12 :



این مدار در t>0 و t<0 منبع دارد
پس پاسخ کامل است ،

جلسه سیزدهم

مدار تزویج :
وقتی دو سلف در کنار هم باشند و از یکی جریان عبور کند ، این جریان حول سیم پیچ یک میدان مغناطیسی ایجاد می کند که طبق
قانون القاء فاراده این میدان مغناطیسی باعث می شود یک جریان در سیم پیچ دیگری ایجاد شود .

مدل مدار تزویج :

 
پاسخ حالت دائمی سینوسی :

به این مفهوم که جریان i1 و i2 و ولتاژ v1 و v2 سینوسی هستند ،
برای این کار مدل را در حوزه فازور می بریم ، مطابق شکل زیر ؛

مثال : در شکل شماره 1 / 13 جریان i1 را در مدار زیر بدست آورید :


با توجه به اینکه شکل 1 /13 یک مدار تزویج است و منبع ولتاژ
ورودی سینوسی است با دامنه 2 و 4 بنابراین ابتدا باید مدار
را به حوزه فازور منتقل کرد ،

در این حالت مدار فازوری است و برای بدست آوردن I1 و V4 در حوزه فازور کافیست در حلقه سمت چپ و حلقه سمت راست
KVL بنویسیم ،
در حلقه سمت چپ V1 با منبع موازی است بنابراین V1= 4 ولت می باشد .


حال یک معادله با دو مجهول داریم ، برای پیدا کردن معادله دیگر در حلقه 2 یک KVL می نویسیم ،

از دو رابطه ای که بدست آوردیم جریان I1 قابل محاسبه خواهد بود ،
در این مثال مشاهده می شود که حل مدارهای تزویج مانند حل مدارهای فازوری است ، فقط کافیست اثر القای متقابل سلف ها را
در نظر بگیریم .




مثالی دیگر از حل مدار تزویج ،
به شکل 2 /13 توجه کنید ؛

اکنون که سلف ها اثر القاءمتقابل روی هم دارندنمی توانیم به
شیوه فوق Leq را بدست آوریم ،در اینگونه موارد لازم است
از معادل تونن در حوزه فازور استفاده کنیم ، بنابراین ابتدا مدار را
به حوزه فازور برده و برای محاسبه امپدانس معادل از یک منبع
خارجی استفاده می کنیم ،
به شکل صفحه بعد توجه کنید ؛


مدار در حوزه فازور و استفاده از یک منبع خارجی جهت
محاسبه امپدانس معادل ؛

حال برای محاسبه در دو حلقه سمت راست و چپ KVL می نویسیم :


ترانسفورماتور:
ترانسفورماتور همان مدار تزویج است که جریان ولتاژو امپدانس سیم پیچ اول و دوم را بر حسب تعداد دور سیم پیچ بیان می کند ،

مدار مدل ترانسفورماتور :


برای ساده شدن روابط معمولا تعداد دور یک سیم پیچ را بر مبنای سیم پیچ دیگر می دهند ، مثلا می گوییم تعداد دور سیم پیچ راست
در شکل مدل n برابر تعداد دور سیم پیچ سمت چپ است ، بنابراین در سیم پیچ سمت چپ n1 = 1 قرار داده و در سیم پیچ
سمت راست n2 = n قرار می دهیم و می گوییم تعداد دور سیم پیچ سمت راست n برابر تعداد دور سیم پیچ سمت چپ
است بنابراین مدل و روابط مربوطه به صورت زیر در می آید ؛



نکته :
چون رابطه آخری با توان 2 مرتبط شده است بنابراین تغییر جهت های جریان
و ولتاژ و تغییر نقطه ها در این رابطه بی تاثیر است .




نکته :
اگر در ترانسفورماتور نقطه ها یا جهت های جریان و ولتاژ عوض شد روایط به چه صورت در می آید ؟
برای پاسخ به این سوال به مثال زیر توجه کنید ؛
در شکل شماره 3 / 13 امپدانس Z2 را بدست آورید ؛



مثالی دیگر ؛
در شکل روبرو نقطه ها جابجا نشده اند ولی جهت V1 عوض شده ،

در شکل مقابل نقطه ها جابجا شده و جهت V1 نیز تغییر کرده ،
طبق مدل باید مثبت ولتاژها به سر نقطه دار باشد بنابراین V1
ثابت می ماند ، و همچنین باز طبق مدل جریان باید از سر نقطه دار
وارد سلف شود ولی با جابجایی نقطه جریان I1 از سر بی نقطه وارد
سلف می شود .در نتیجه I1 می دهد -I1



مثال :
در شکل 4 / 13 می خواهیم از دو سر A و B مقدار Zth را بدست بیاوریم ؛



مدار را به حوزه فازور می بریم ؛

برای محاسبه Zth باید مدار را به گونه ای ساده کنیم که هر ترانسفورماتور را به مدار مدل ترانسفورماتور تبدیل کنیم ،
برای این کار در مرحله اول ابتدا در مدار بال منبع ولتاژ را غیر فعال می کنیم و در مدار سمت چپ در دو سر CD امپدانس معادل
را حسابمی کنیم و نام آنرا Z1 می گذاریم به صورت زیر ؛


مرحله دوم :
در مدار وسط با معلوم شدن Z1 می توان Z2 را نیز بدست آورد ،
می دانیم که Z2 امپدانس موازی دو سر سلف است ،
در شکل زیر قسمت درون کادر همانند مدار مدل ترانسفورماتور است ولی کل نقطه ها متفاوت است اما چون در حال محاسبه امپدانس
هستیم تعریف مکان نقطه ها تاثیری ندارد ، بنابراین طبق روابط داده شده خواهیم داشت ؛


مرحله سوم :
حالا Z2 را باید به دو سر GH منتقل کنیم و نام انرا Z3 می گذاریم ، از روی شکل مشخص است Z3 = 10 + Z2
Z3 = 10 +40+40j = 50 + 40 j

مرحله چهارم :
Z3 را به دو سر A و B در شکل اصلی منتقل کرده و نام انرا Z4 می گذاریم ،ملاحظه می کنیم که مدار شامل Z3 تا AB
مانند مدار ترانسفورماتور است و فقط در آن جای نقطه ها عوض شده است که تاثیری در حل ندارد زیرا در حال محاسبه امپدانس هستیم

 

این مقدار V(0) را باV(0)
شرایط اولیه مساوی قرار می دهیم یعنی ،

سپس از تابع مشتق گرفته و به جای t
عدد صفر قرار می دهیم ، خواهیم داشت ،

این مقدار را با مقدار اولیه مشتق مرتبه
اول مساوی قرار می دهیم ، پس خواهیم داشت ،

جلسه چهاردهم

توان:
در مدار الکتریکی و در محاسبه ولتاژ جریان و توان ، باید دقت کنیم این محاسبات برای یک شاخه صورت
می گیرد که این شاخه می تواند مقاومت ، سلف ، خازن ، و منابع مستقل یا وابسته ولتاژ و جریان باشد ،
در هر رابطه که می نویسیم باید دقت کنیم جهت ها را برای آن عنصر متناظر در نظر گرفته ایم ، زمانیکه
جهت ها متناظر نباشند در روابط علامت منها را باید لحاظ کرد .




توان برایک عنصر با جهت های متناظر مانند شکل مقابل

اگر مدار DC باشد حاصل توان یک عدد است ،

اگر مدار AC باشد ( سینوسی باشد ) داریم :



رابطه بالا یک رابطه زمانی است (توان لحظه ای )
توان لحظه ای حول یک عدد نوسان دارد ( حالت سینوسی دارد ).

حالت مثلثاتی :

وقتی منابع سینوسی هستند ، در محاسبات معمولا توان متوسط مورد نیاز است و معمولا به محاسبه توان
لحظه ای نیست .




توان متوسط عنصر مقاومت :

در مقاومت قانون اهم برقرار است یعنی V=Ri



حال اگر جریان سینوسی باشد ، یعنی داشته باشیم ؛

بنابراین طبق قانون اهم خواهیم داشت ؛

ملاحظه می شود فاز جریان I و V با هم مساوی و برابر است با زاویه I ،
اگر در رابطه توان متوسط زاویه و ولتاژ جریان مساوی شود خواهیم داشت ،


توان متوسط سلف و خازن :

سلف و خازن توان متوسط ندارند و برابر صفر است ؛



چرا ؟ چون رابطه ولتاژ و جریان دیفرانسیلی است یعنی در سلف داریم ؛


بنابراین اگر


VL برابر خواهد شد با ؛



اگر این رابطه را ساده کنیم ،


به همین ترتیب توان متوسط خازن نیز صفر می شود ، البته به لحاظ منطقی نیز توان متوسط سلف و خازن
باید صفر شود ، زیرا توان متوسط یعنی توان تلفاتی و در مدار الکتریکی توان فقط در مقاومت تلف می شود
و در سلف و خازن ذخیره می شود .





توان متوسط منابع :

اختلاف بین ولتاژ و جریان غیر از صفر و 90 درجه است ،

توان مختلط ( توان ظاهری ):

یعنی محاسبه توان در حوزه فازور،

مثال :
I = 3 + 4 j          V = 1 + 2j
I = 3 - 4j            V = 1- 2j

















نحوه انتخاب ZL به طوریکه بیشترین توان متوسط در آن تلف شود :

وقتی بخواهیم در دوسر دلخواه مداری ،ZL را به گونه ای حساب کنیم که بیشترین توان به آن انتقال داده
شود خواهیم داشت ؛

که در این حالت 50% توان متوسط مدار به دو سر A و B منتقل می شود.

معادلات ديفرانسيل ومدارات مرتبه اول ودوم

وجود سلف وخازن در يك مدار سبب مي شود كه معادلات كيرشهف به معادلات ديفرانسيل تبديل گردند. اگر معادله ديفرانسيل بدست آمده يك معادله ديفرانسيل خطي از مرتبه اول باشد به آن مدار ، مدار مرتبه اول و اگر از مرتبه دوم باشد به آن مدار مرتبه دوم مي گوييم .

 

  روش بدست آوردن معادله ديفرانسيل حاكم بر مدار را شرح دهيد.

بهترين وساده ترين روش براي بدست آوردن معادله ديفرانسيل حاكم بر يك مدار استفاده از عملگر مشتق D است. در اين روش هر سلف مدار را با يك مقاومت با مقدار DL وهر خازن را با يك مقاومت با مقدار

(1⁄ DC)

جايگزين مي كنيم ومعادلات كير شهف لازم را مي نويسيم . توانهاي مثبت D را با مشتقات مرتبه اول و دوم وتوانهاي منفي را با انتگرال جايگزين مي كنيم به عوان مثال:

 

 

  در شكل زير معادله ديفرانسيلي كه با حل آن ولتاژ منبع جريان بدست مي آيد را بنويسيد.

 

به جاي سلف L يك مقاومت LD و به جاي خازن يك مقاومت

(1⁄ CD)

قرار مي دهيم . سپس معادله KCL را براي گره بالاي منبع جريان مي نويسيم . داريم:

 

 

  براي مدار شكل زير معادله ديفرانسيلي كه با حل آن VR بدست مي آيد بنويسيد.

 

با تبديل سلف به يك مقاومت 1D وخازن به مقاومت و نوشتن KCL در گره بالاي مقاومت 2 اهمي داريم.

 

 

  معادله ديفرانسيلي كه با حل آن V در شكل زير مشخص مي شود را بنويسيد.

 

با تبديل سلف به عنصر مقاومتي D وخازن به

(1⁄ D)

و نوشتن يك KCL در گره بالاي خازن داريم:

is = v + Dv + (1⁄ D) (v-Vs )

 

طرفين را در D ضرب مي كنيم داريم

D is = Dv + D2v + (v-Vs )

يا به عبارت ديگر

v ''+ v '+ v = i 's + Vs 

 

 

  مدارهاي مرتبه اول

در مدارهاي مرتبه اول ، معادله ديفرانسيل توصيف كننده رفتار مدار از مرتبه اول است. اين معادله يك جواب عمومي ويك جواب خصوصي دارد كه جواب كامل آن حاصل جمع جواب خصوصي و عمومي خواهد بود.  

 

  جواب عمومي وخصوصي معادله ديفرانسيل مرتبه اول چيست؟

در يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول معادله مشخصه از درجه يك است و اگر فرض كنيم s = s1 ريشه آن باشد . اين مقدار معمولا منفي است لذا آن را بصورت

s1 = -(1⁄ τ )

فرض مي كنيم. به طوريكه به τ ثابت زماني مدار گفته مي شود و واحد آن ثانيه است پس پاسخ عمومي در يك سيستم درجه 1 عبارت است از :

yh (t) = K e -(t ⁄ τ)

 

پاسخ خصوصي(yp(t همواره تابعي است از نوع تابع ورودي كه فقط در دامنه با آن تفاوت دارد. در مدارها توابع ورودي همان منابع مستقل يا ثابت هستند. پاسخ كلي مدار عبارت است از :

y(t) = yh(t) + yp(t)

با توجه به شرايط اوليه

t = 0+

و شرايط ماندگار

t = ∞

ضرايب مجهول محاسبه مي شوند.  

براي مدار مرتبه اول متشكل از خازن ومقاومت ثابت زماني به صورت τ وبراي مدار متشكل از سلف ومقاومت به صورت(τ = (L ⁄R تعريف مي شود كه R مقاومت ديده شده از دو سر سلف يا خازن (مقاومت تونن يا نورتن) است.  

 

  نكته:

اگر در مداري دو خازن يا بيشتر وجود داشته باشد در صورتيكه خازنها تشكيل يك حلقه بدهند اين مدار مدار مرتبه اول مي باشد.
اگر در مداري دو سلف يا بيشتر وجود داشته باشد در صورتيكه سلفها تشكيل يك گره بدهند اين مدار مدار مرتبه اول مي باشد.  

 

  نكته:

در لحظه

t = 0+

خازن را با يك منبع ولتاژ كه برابر با ولتاژ اوليه خازن است و سلف را با يك منبع حريان كه برابر با جريان اوليه سلف است جايگزين مي كنيم.  

 

  نكته:

اگر ولتاژ اوليه خازن صفر باشد در لحظه

t = 0+

آنرا اتصال كوتاه و اگر جريان اوليه خازن صفر باشد در

t = 0+

آنرا مدار باز در نظر مي گيريم.  

 

  نكته:

ولتاژ خازن و جريان سلف تغييرات جهشي ندارند مگر اينكه در لحظه

t = 0+

در دو سر خود مقاومتي نبينند. يعني اگر با اتصال كوتاه شدن خازن ومدار باز شدن سلف مقاومت موجود حذف شود، آنگاه ولتاژ خازن و جريان سلف مي توانند به طور جهشي تغيير كنند در غير اينصورت نمي توانند

روش ذهني تحليل مدارهاي مرتبه اول

براي بدست آوردن پاسخ مدار در تمام زمانها از رابطه زير استفاده مي كنيم:

(∞)y پاسخ در زمان ∞=t يا حالت ماندگار و (y(0 پاسخ در زمان

t = 0+

يا شرايط اوليه مي باشد.

 

  براي شبكه مقابل(i(t را محاسبه كنيد.

 

شبكه در t<0 در حال آرامش است. ابتدا Rth را از دو سر خازن محاسبه مي كنيم. براي اينحالت خازن را مدار باز فرض كرده ومنبع ولتاژ را صفر مي كنيم داريم:

تعيين (∞)i: در ∞=t خازن مدار باز مي شود. لذا داريم :

تعيين (i(0: در لحظه

t = 0+

بدليل صفر بودن ولتاژ اوليه خازن آن را اتصال كوتاه فرض مي كنيم . داريم:

 

 

  در شكل مقابل ولتاژ اوليه خازن صفر بوده و (V(t به صورت

V(t) = (1 ⁄ 4)(1-e-3t )

است. اگر به جاي خازن سلف L= 2H را قرار دهيم.(V(t را محاسبه كنيد

 

مي توان به جاي شبكه مقاومتي و منبع ولتاژ ، مدار معادل تونن را جايگزين نمود.

V(∞) = Vth ---> Vth = 1 ⁄ 4

τ = Rth C ---> Rth = ( τ ⁄ C ) =  1 ⁄ 3Ω

حال اگر به جاي خازن يك سلف قرار دهيم داريم:

 

سلف در زمان

t(0+ )

اتصال باز است :‌

V(0+ ) = Vth = 1 ⁄ 4

در ∞ = t سلف اتصال كوتاه مي شود لذا 0 = (∞)V در نهايت براي ولتاژ سلف داريم .

 

 

  ثابت زماني مدار مقابل چند ثانيه است.

بايد مقاومت ديده شده از دو سر خازن را حساب كنيم. براي اينكار منابع مستقل را خاموش مي كنيم وبه جاي خازن يك منبع V با جريان i جايگزين مي كنيم . داريم:

 

 

  باKVL در حلقه بزرگتر داريم:

i1 (1+2) + (i + i1) 1 = 0 --->i1 = -(i ⁄ 4)

 

 

  با KVL در حلقه اي كه منبع ولتاژ V دارد

V=(i-3i1 )(i+i1 ) 1

با جاگذاري i1 داريم:

V= (5 ⁄ 2)i ----> Rth= ( V  ⁄  i ) =5 ⁄ 2

 

---> τ = Rth C = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ نوشته شده در  90/03/16ساعت   توسط وحید باقریان راد  |